Ecuaciones y sistemas

Sintaxis		Comentario
Interseca [p(x), q(x)] Interseca [p(x), r] Interseca [a, b]		Todos los puntos de intersección entre dos polinomios, entre un polinomio y una recta, o entre los objetos geométricos (rectas, cónicas) a y b. Las abscisas de esos puntos son las soluciones de la ecuación p(x) = q(x) o la ecuación correspondiente a la intersección de p(x) con r, o de a con b.
Interseca [f(x), g(x), A]		Punto de intersección de las funciones f y g, usando A como punto inicial del método de Newton . La abscisa de ese punto es una solución de la ecuación f(x) = g(x).
Interseca [f(x), g(x), x₁, x₂]		Todos los puntos de intersección de las funciones f y g en el intervalo [x₁, x₂]. Las abscisas de esos puntos son las soluciones de la ecuación p(x) = q(x) en el intervalo [x₁, x₂].
PrimerMiembro [ecuación] PrimerMiembro [L]		Primer miembro de la ecuación , o de la primera ecuación de la lista de ecuaciones (sistema ) L. PrimerMiembro[x = 2x + 2] devuelve x
RaícesN [ecuación]		Lista con alguna solución de la ecuación , hallada numéricamente. RaícesN[2x = 2] devuelve {x = 1} RaícesN[3x³ - 6x² - 3x + 6 = 0] devuelve {x = 2}
Raíz [p(x)]		Todas las raíces del polinomio p(x) (como puntos de intersección entre la gráfica y el eje X). Esas raíces son las soluciones de la ecuación p(x) = 0.
Raíz [f(x), x₀]		Una raíz de la función f con valor inicial x₀ (método de Newton ). Esa raíz es una solución de la ecuación f(x) = 0.
Raíz [f(x), x₁, x₂]		Una raíz de la función f en el intervalo [x₁, x₂] (método regula falsi ). Esa raíz es una solución de la ecuación f(x) = 0.
Resuelve [ecuación] Resuelve [ecuación, variable]		Lista (o matriz) con las soluciones de la ecuación (o sistema de ecuaciones ). Si no hay ninguna, devuelve el conjunto vacío. Se puede elegir la variable (o variables) a despejar. Resuelve[4x = x² + 3] devuelve {x = 3, x = 1} Resuelve[{x = 4 x + y, y + x = 2}, {x, y}] devuelve (x = -1 y = 3)
ResoluciónC [ecuación] ResoluciónC [ecuación, variable]		Lista (o matriz) con las soluciones de la ecuación (o sistema de ecuaciones ), incluidas las complejas. Si no hay ninguna, devuelve el conjunto vacío. Se puede elegir la variable (o variables) a despejar. ResoluciónC[x² + 1 = 0] devuelve {x = ί, x = -ί} ResoluciónC[t² + 1 = 0, t] devuelve {t = ί, t = -ί} En la Vista , el número ί se obtiene pulsando Alt i.
ResoluciónN [ecuación] ResoluciónN [ecuación, variable]		Lista con alguna solución de la ecuación (o sistema de ecuaciones ), hallada numéricamente. Puede especificarse la variable (o variables). ResoluciónN[a³-100a+10, a] devuelve {a = 9.95}
SegundoMiembro [ecuación]		Segundo miembro de la ecuación , o de la primera ecuación de la lista de ecuaciones (sistema ) L. SegundoMiembro[x = 2x + 2] devuelve 2(x + 1)
Soluciones [ecuación] Soluciones [ecuación, variable]		Lista (o matriz) con las soluciones de la ecuación (o sistema de ecuaciones ). Si no hay ninguna, devuelve el conjunto vacío. Se puede elegir la variable (o variables) a despejar. Soluciones[4x = x² + 3] devuelve {3, 1} Soluciones[{x=4x+y, y+x=2}, {x, y}] devuelve (-1 3)
SolucionesC [ecuación] SolucionesC [ecuación, variable]		Lista (o matriz) con las soluciones de la ecuación (o sistema de ecuaciones ), incluidas las complejas. Si no hay ninguna, devuelve el conjunto vacío. Se puede elegir la variable (o variables) a despejar. SolucionesC[x² + 1 = 0] devuelve {ί, -ί} SolucionesC[t² + 1 = 0, t] devuelve {ί, -ί} SolucionesC[{x+y=2, x -y=0}, {x, y}] devuelve (1 1) En la Vista , el número ί se obtiene pulsando Alt i.
SolucionesN [ecuación]		Lista con alguna solución de la ecuación (o sistema de ecuaciones ), hallada numéricamente.

Polinomios y funciones racionales

Sintaxis

Comentario

AjustePolinómico [L, n]

Curva de regresión polinómica (de grado n)

de una lista de puntos.

Cociente [p(x), q(x)]

Cociente de la división

del polinomio p(x) entre el polinomio q(x).

Cociente[x² + 3x + 1, x - 1] devuelve x + 4

Coeficientes [p(x)]

Lista de los coeficientes

del polinomio, ordenados de mayor a menor según el grado de los monomios.

Coeficientes[3x² + 5] devuelve {3, 0, 5}

Si algún coeficiente fuese un número complejo, también aparecerá (con su notación correspondiente).

CompletaCuadrado [p(x)]

Expresión del tipo a(x−h)² + k equivalente al polinomio de segundo grado p(x).

Esta forma de expresión puede resultar útil

como ayuda en la descripción y representación de funciones cuadráticas.

CompletaCuadrado[x² + 4x] devuelve 1 (x + 2)² - 4

División [p(x), q(x)]

Cociente y resto de la división

del polinomio p(x) entre el polinomio q(x).

Division[x² + 3x + 1, x - 1] devuelve {x + 4, 5}

Extremo [p(x)]

Todos los extremos

del polinomio p(x).

FactorC [expresión]

FactorC [expresión, variable]

Factoriza

la expresión, según la variable indicada, en factores complejos.

FactorC[x² + 1] devuelve (x + ί) (x - ί)

En la Vista , el número ί se obtiene pulsando Alt i.

Factores [p(x)]

Matriz con las filas {factor, exponente} de la descomposición

de p(x) en factores irreducibles.

No todos los factores son reducibles en el ámbito de los reales.

Factores[x⁸ - 1] devuelve
{{x⁴ + 1, 1}, {x² + 1, 1}, {x + 1, 1}, {x -1, 1}}
Factores[x² + x -1] devuelve {{x² + x - 1, 1}}

Factoriza [p(x)]

Factoriza

el polinomio p(x).

Por "factorizar" se entiende descomponer en factores (x - k), donde k es un número racional. No se factoriza en raíces irracionales.

Factoriza[x² + x - 6] devuelve (x - 2)(x + 3)

FraccionesParciales [p(x)/q(x)]

Descompone la función racional p(x)/q(x) en fracciones parciales

.

FraccionesParciales[(3x - 2)(3x + 2)/(1 + x)]
devuelve 9(x-1) + 5/(x+1)

Grado [p(x)]

Grado

del polinomio p(x).

Grado[2x² + 3] devuelve 2

Interseca [p(x), q(x)]

Interseca [p(x), r]

Todos los puntos de intersección entre dos polinomios o entre un polinomio y una recta.

Interseca [p(x), q(x), n]

Interseca [p(x), r, n]

Enésimo punto de intersección entre dos polinomios o entre un polinomio y una recta.

MCD [p(x), q(x)]

MCD [{p(x), ...}]

Máximo Común Divisor de dos polinomios o de una lista de polinomios.

MCD[x² - 1, 2x + 2] devuelve x + 1
MCD[{x, x², x+1}] devuelve 1

MCM [p(x), q(x)]

MCM [{p(x), ...}]

Mínimo Común Múltiplo de dos polinomios o de una lista de polinomios.

MCM[x² - 1, 2x + 2] devuelve 2(x² - 1)
MCM[{x, x², x+1}] devuelve x²(x + 1)

Polinomio [L]

Polinomio de interpolación

de grado n-1 de los n puntos de una lista.

Polinomio[{(1, 2), (2, 5), (3, 6)}]
devuelve -x² + 6x - 3

Polinomio [p(x)]

Desarrollo del polinomio p(x).

Polinomio[(x - 3)²] se desarrolla como x² - 6x + 9

PolinomioAleatorio [n, n₁, n₂]

PolinomioAleatorio [t, n, n₁, n₂]

Polinomio en x (u otra variable si así se elige) de grado máximo n con coeficientes enteros (pueden ser nulos) elegidos aleatoriamente entre n₁ y n₂, inclusive.

PolinomioAleatorio[4, -1, 3]
puede devolver -x³ + x² + 3
PolinomioAleatorio[t, 4, -1, 3]
puede devolver -t⁴ + t³ + 2t² + 3

PolinomioTaylor [f(x), x₀, n]

Desarrollo de serie de potencias

de orden n para la función f en torno al punto x₀.

PolinomioTaylor[x², 3, 1]
devuelve 9 + 6(x - 3), la serie de potencias de x² para x = 3 hasta el orden 1.

En la Vista

, PolinomioTaylor[x², a, 1]
devuelve 2 a x - a², la serie de potencias de x² para x = 3 hasta el orden 1.

PuntoInflexión [p(x)]

Todos los puntos de inflexión

del polinomio p(x).

Raíz [p(x)]

Todas las raíces

del polinomio p(x) (como puntos de intersección entre la gráfica y el eje X).

Resto [p(x), q(x)]

Resto de la división

del polinomio p(x) entre el polinomio q(x).

Resto[x² + 3x + 1, x² - 1] devuelve el polinomio 3x + 2

Funciones

Ver en Operadores/Funciones las funciones predefinidas.

Sintaxis		Comentario
Asíntota [f(x)]		Lista con todas las asíntotas (oblicuas u horizontales, y verticales) de la función f. Asíntota[1/x] devuelve {y=0, x=0} Asíntota[(x+1)/x] devuelve {y=1, x=0} Asíntota[(x²+1)/x] devuelve {-x + y = 0, x=0}
CírculoOsculador [A, f(x)]		Círculo osculador en el punto A de la función f.
Curvatura [A, f(x)]		Curvatura (inverso del radio de curvatura ) en el punto A de la función f.
Desarrolla [f(x)]		Elimina los paréntesis y simplifica la expresión de la función f. Desarrolla [(x + 3)(x - 4)] devuelve x² - x - 12 Desarrolla [x³ + x³] devuelve 2 x³
Denominador [f(x)]		Denominador de la función f. Denominador[(3x² + 1) / (2x - 1)] devuelve 2x - 1
Extremo [f(x), x₁, x₂]		Extremo relativo de la función f en el intervalo (x₁, x₂). La función debería ser continua en [x₁, x₂]. De no serlo, pueden obtenerse falsos extremos próximos a las discontinuidades.
Función [f(x), x₁, x₂]		Función igual a f en el intervalo [x₁, x₂] y no definida fuera de ese intervalo. Para restringir el dominio de la función de modo que tal restricción se herede por parte de otras funciones relacionadas, se debe emplear el comando Si. Por ejemplo, las funciones: f(x) = Si[-1 ≤ x ∧ x ≤ 1, x²] g(x) = Función[x², -1, 1] son iguales a x² en el intervalo [-1, 1]. Sin embargo, mientras 2f quedará restringida también a ese intervalo, la función 2g no lo hará. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
GráficaAnimada [f(x)]		Gráfica animada de la función f , controlable mediante un deslizador creado por este comando. Este comando crea un deslizador a entre 0 y 1 que usa como parámetro para crear la función: Función[f, x(Esquina[1]), x(Esquina[1]) (1-a) + x(Esquina[2]) a] GráficaAnimada[sin(x)]
Interseca [f(x), g(x), A] Interseca [f(x), r, A]		Punto de intersección de las funciones f y g, o de la función f y la recta r, usando A como punto inicial del método de Newton .
Interseca [f(x), g(x), x₁, x₂]		Todos los puntos de intersección de las funciones f y g en el intervalo [x₁, x₂].
Iteración [f(x), x₀, n]		Itera n veces la función f usando el valor inicial x₀. Iteración[x², 3, 2] devuelve 81, es decir, (3²)²
ListaIteración [f(x), x₀, n]		Lista de longitud n + 1 cuyos elementos son iteraciones de la función f empezando con el valor x₀. ListaIteración[x², 3, 2] devuelve {3, 9, 81}
ListaRaíces [L]		Lista de puntos del eje X con las abscisas de la lista L. ListaRaíces[{1, 2}] devuelve {(1,0), (2,0)}
Longitud [f(x), x₁, x₂] Longitud [f(x), A, B]		Longitud de la gráfica de la función f entre los puntos de abscisa x₁ y x₂ o entre las abscisas de los puntos A y B.
Máximo [f(x), x₁, x₂]		Máximo de la función f en el intervalo [x₁, x₂]. Solo devolverá un punto. Ver también el comando Extremo y la herramienta Inspección de Función.
Mínimo [f(x), x₁, x₂]		Mínimo de la función f en el intervalo [x₁, x₂]. Solo devolverá un punto. Ver también el comando Extremo y la herramienta Inspección de Función.
Numerador [f(x)]		Numerador de la función f. Numerador[(3x²+1)/(2x-1)] devuelve 3x² + 1
Raíces [f(x)]		Raíces de la función f en el intervalo [x₁, x₂]. El método numérico empleado no garantiza que se encuentren todas las raíces. Raíces[sin(x), 0, 8] devuelve los puntos (0, 0), (3.14, 0), (6.28, 0).
RaícesN [f(x)]		Lista con alguna raíz de la función f, hallada numéricamente. RaícesN[2x-2] devuelve {x = 1} RaícesN[3x³ - 6x² - 3x + 6] devuelve {x = 2}
Raíz [f(x), x₀]		Una raíz de la función f con valor inicial x₀ (método de Newton ).
Raíz [f(x), x₁, x₂]		Una raíz de la función f en el intervalo [x₁, x₂] (método regula falsi ).
Simplifica [f(x)]		Devuelve la función simplificada (y la representa en la vista gráfica). Simplifica[x + x + x] devuelve 3x Simplifica[x(sin(x)² + cos(x)²)] devuelve x Simplifica[-2 cos(x) tan(x)] devuelve -2 sin(x)
Tangente [x₀, f(x)]		Tangente por el punto de la gráfica de la función f de abscisa x₀.
Tangente [A, f(x)]		Tangente por el punto de la gráfica de la función f de abscisa x(A).
VectorCurvatura [A, f(x)]		Vector normal (es decir, perpendicular) en el punto A a la función f, con sentido hacia el interior de la curva y módulo igual a la curvatura (inverso del radio de curvatura ).

Funciones definidas a trozos

Sintaxis	Comentario
Si [TF, f(x), g(x)]	Puede usarse este comando para crear una función definida a trozos.

Curvas paramétricas y recorridos

Sintaxis		Comentario
CírculoOsculador [A, e(t)]		Círculo osculador en el punto A de la curva e.
Curva [e₁(t), e₂(t), t, t₁, t₂]		Ecuación paramétrica e(t) = (e₁(t), e₂(t)) de una curva, con t en el intervalo [t₁, t₂]. Curva[1.4^t cos(t), 1.4^t sin(t), t, 0, 6pi] devuelve una espiral logarítmica. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Curvatura [A, e(t)]		Curvatura (inverso del radio de curvatura ) en el punto A de la curva e.
Longitud [e(t), t₁, t₂] Longitud [e(t), A, B]		Longitud de la curva e entre los los valores paramétricos t₁ y t₂ o entre las abscisas de los puntos A y B.
Maximiza [e(t), t]		Valor del deslizador t donde la expresión e(t) alcanza el máximo valor. El intervalo del deslizador se empleará como intervalo de búsqueda. Si la expresión es complicada, el proceso podría obtener una respuesta errónea o interrumpirse para evitar un excesivo consumo de tiempo de procesamiento. Si t=1 es un deslizador en [-5, 5] entonces Maximiza[4t-t², t] devuelve 2
Minimiza [e(t), t]		Valor del deslizador t donde la expresión e(t) alcanza el mínimo valor. El intervalo del deslizador se empleará como intervalo de búsqueda. Si la expresión es complicada, el proceso podría obtener una respuesta errónea o interrumpirse para evitar un excesivo consumo de tiempo de procesamiento. Si t=1 es un deslizador en [-5, 5] entonces Minimiza[4t-t², t] devuelve -5
ParámetroSobreRecorrido [A]		Parámetro (número entre 0 y 1) correspondiente a la posición relativa del punto A en su recorrido. La posición inicial del punto que crea el comando Punto[a], no tiene por qué coincidir con la posición Punto[a,0], es decir, con la posición correspondiente al valor 0 del parámetro sobre recorrido. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
Suma [e(t), t, t₁, t₂]		Calcula la suma (serie ) de la expresión e(t) entre los valores t₁ y t₂. El valor final puede ser infinito.
Tangente [A, e(t)]		Tangente por el punto de la gráfica de la curva e que pertenece a la recta que pasa por A con vector director el dado por el comando VectorCurvatura[A, e(t)].
VectorCurvatura [A, e(t)]		Vector normal (es decir, perpendicular) en el punto A a la curva e, con sentido hacia el interior de la curva y módulo igual a la curvatura (inverso del radio de curvatura ).

Funciones implícitas

Sintaxis	Comentario
Asíntota [f(x,y)]	Lista con todas las asíntotas de la función implícita f(x,y) = 0.
CurvaImplícita [f(x,y)]	Función implícita f(x,y) = 0, donde f(x,y) es un polinomio en x e y. Punto inicial y parámetro sobre recorrido.
CurvaImplícita [L]	Función implícita que pasa por los puntos de la lista L. El número de puntos debe ser n(n+3)/2 para una curva de grado n (si n=1, 2 puntos determinan una recta; si n=2, 5 puntos determinan una cónica; para n=3, 9 puntos determinan una cúbica...)

Sintaxis

Comentario

Asíntota [f(x,y)]

Lista con todas las asíntotas

de la función implícita f(x,y) = 0.

CurvaImplícita [f(x,y)]

Función implícita f(x,y) = 0, donde f(x,y) es un polinomio en x e y.

Punto inicial y parámetro sobre recorrido.

CurvaImplícita [L]

Función implícita que pasa por los puntos de la lista L.

El número de puntos debe ser n(n+3)/2 para una curva de grado n (si n=1, 2 puntos determinan una recta; si n=2, 5 puntos determinan una cónica; para n=3, 9 puntos determinan una cúbica...)

Límites

Sintaxis	Comentario
Límite [f(x), x₀]	Límite , que puede ser infinito, de la función f para x = x₀ (que también puede ser infinito). Límite[sin(x)/x, 0] devuelve 1 Límite[2x/(x+1), ∞] devueve 2 Límite[x²/(x+1), ∞] devuelve ∞
Límite [f, variable, x₀]	Límite , que puede ser infinito, de la función f para el valor de la variable indicada igual a x₀ (que también puede ser infinito). Límite[sin(x)/x, x, 0] devuelve 1 Límite[2t/(t+v), t, ∞] devueve 2 Límite[t²/(t+v), t, ∞] devuelve ∞
LímiteInferior [f(x), x₀]	Límite inferior (o por la izquierda) , que puede ser infinito, de la función f para x = x₀ (que también puede ser infinito).
LímiteInferior [f, variable, x₀]	Límite inferior (o por la izquierda) , que puede ser infinito, de la función f para el valor de la variable indicada igual a x₀ (que también puede ser infinito).
LímiteSuperior [f(x), x₀]	Límite superior (o por la derecha) , que puede ser infinito, de la función f para x = x₀ (que también puede ser infinito).
LímiteSuperior [f, variable, x₀]	Límite superior (o por la derecha) , que puede ser infinito, de la función f para el valor de la variable indicada igual a x₀ (que también puede ser infinito).

Cálculo diferencial

Sintaxis		Comentario
Derivada [f(x)] f ' (x)		Función derivada de la función f.
Derivada [f(x), n] f''(x), f'''(x) ...		Función enésima derivada de la función f.
Derivada [e(t)]		Curva derivada de la curva e(t) = (e₁(t), e₂(t)). Su derivada se obtiene derivando e₁(t) y e₂(t).
Derivada [e(t), n]		Curva derivada de orden n de la curva e. Su derivada se obtiene derivando e₁(t) y e₂(t).
DerivadaImplícita [expresión, variable dep., variable indep.]		Derivada implícita de la expresión dada. DerivadaImplícita[x² + y², x, y] devuelve -x/y
Longitud [lugar]		Número de puntos creados para trazar el lugar geométrico. Puede usarse para conocer el número de puntos empleado en la solución gráfica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) . Para averiguar la medida del recorrido trazado, usar el comando Perímetro[lugar].
Primero [lugar, n]		Lista de puntos creados en los n primeros pasos del algoritmo de resolución numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .
ResuelveEDO [f(x,y), x₀, y₀, x_F, k]		Lugar geométrico de la función solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden : dy/dx = f(x,y) con punto inicial (x₀, y₀). El valor final y el paso de x son, respectivamente, x_F y k. La resolución es numérica, basada en el método de Runge-Kutta . Los comandos Longitud[lugar] y Primero[lugar, n] permiten averiguar el número de puntos, y la lista de ellos, usados para trazar el lugar geométrico. Si creamos un punto A=(1,4) y un deslizador d=3, entonces ResuelveEDO[-x y, x(A), y(A), d, 0.1] resuelve la ecuación diferencial dy/dx = -x y con punto inicial A y d como valor final de x (con paso incremental de 0.1).
ResuelveEDO [f(x,y), g(x,y), x₀, y₀, t_F, k]		Lugar geométrico de la función solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden : dy/dx = f(x,y)/g(x,y) con punto inicial (x₀, y₀). El valor final y el paso del parámetro t que crea la curva son, respectivamente, t_F y k. La resolución es numérica, basada en el método de Runge-Kutta . Los comandos Longitud[lugar] y Primero[lugar, n] permiten averiguar el número de puntos, y la lista de ellos, usados para trazar el lugar geométrico. Si creamos un punto A=(1,4) y un deslizador d=3, entonces ResuelveEDO[x/y, x(A), y(A), d, 0.1] resuelve la ecuación diferencial dy/dx = x/y con punto inicial A y d como valor final de x (con paso incremental de 0.1).
ResuelveEDO [b(x), c(x), f(x), x₀, y₀, x_F, k]		Lugar geométrico de la función solución de la Ecuación Diferencial Ordinaria de segundo orden : y′′ + b(x) y′ + c(x) y = f(x) con punto inicial (x₀, y₀). El valor final y el paso de x son, respectivamente, x_F y k. La resolución es numérica, basada en el método de Runge-Kutta . Los comandos Longitud[lugar] y Primero[lugar, n] permiten averiguar el número de puntos, y la lista de ellos, usados para trazar el lugar geométrico.

Cálculo integral

Sintaxis

Comentario

Integral [f(x)]

Una primitiva (integral indefinida

) de la función f.

Integral [f(x), x₁, x₂]

Integral [f(x), x₁, x₂, TF]

Integral definida de la función f en el intervalo [x₁, x₂]. Si el valor TF es false, devuelve el valor 0.

También sombrea (independientemente del valor de TF) la superficie entre la gráfica de la función y el eje X.

IntegralN [f(x), x₁, x₂]

IntegralN [f, variable, t₁, t₂]

Calcula numéricamente la integral definida de la función f, cuya variable independiente puede ser diferente a x, en el intervalo [x₁, x₂].

IntegralN[x², 1, 2] devuelve 7/3

IntegralN[t², t, 1, 2] devuelve 7/3

IntegralEntre [f(x), g(x), x₁, x₂]

IntegralEntre [f(x), g(x), x₁, x₂,TF]

Integral definida

de la función f - g en el intervalo [x₁, x₂]. Si el valor TF es false, devuelve el valor 0.

También sombrea (independientemente del valor de TF) la superficie entre las gráficas de las funciones f y g.

Hasta GeoGebra 3.2, este comando usaba la notación:

Integral [f(x), g(x), x₁, x₂].

SumaInferior [f(x), x₁, x₂, n]

Suma inferior

de la función f en el intervalo [x₁, x₂] con n rectángulos.

También traza los rectángulos correspondientes.

SumaIzquierda [f(x), x₁, x₂, n]

Suma izquierda

de la función f en el intervalo [x₁, x₂] con n rectángulos.

También traza los rectángulos correspondientes.

SumaRectángulos [f(x), x₁, x₂, n, k]

Suma de n rectángulos

bajo la función f en el intervalo [x₁, x₂]. Si k = 0, la altura de cada rectángulo se ajusta por la izquierda. Si k = 1, por la derecha. En otro caso (k debe estar entre 0 y 1), la altura de cada rectángulo se ajusta a la gráfica de f en la proporción k de su anchura.

También traza los rectángulos correspondientes.

Una vez creado un deslizador k=0.5 entre 0 y 1,
podemos escribir SumaRectángulos[2 sin(x), 1, 6, 10, k]
para ver su efecto.

SumaSuperior [f(x), x₁, x₂, n]

Suma superior

de la función f en el intervalo [x₁, x₂] con n rectángulos.

También traza los rectángulos correspondientes.

SumaTrapezoidal [f(x), x₁, x₂, n]

Suma trapezoidal

de la función f en el intervalo [x₁, x₂] con n rectángulos.

También traza los trapecios correspondientes.